8  Splines

🏁 Ziel: Finde eine Interpolation für eine Menge von Punkten \(y_0, \dots y_M \in \mathbb{R}^2\)

⚠️ Problem: Polynom-Interpolation gibt nur ein einziges Polynom zurück und ist durch das Runge-Phänomen anfällig für große Fehler bei großen Grad.

💡 Idee: Kombiniere mehrere Polynome zu einem Stückweise definierten Polynom (Spline \(S\)).

Eigenschaften vom kubischen Splines:

1. \(S \in \mathbb{P}_3\) ist ein Polynom \(3\)-ten Grades
2. Glattheit: \[ \begin{aligned} S_n(\xi_n)&=S_{n+1}(\xi_n) \\ S'_n(\xi_n)&=S'_{n+1}(\xi_n) \\ S''_n(\xi_n)&=S''_{n+1}(\xi_n) \\ \end{aligned} \]
3. Randbedingungen:
   • natürlich: \(S''(a) = S''(b) = 0\)
   • hermite: \(S'(a) = f'_0, \quad S'(b) = f'_M\)
   • periodisch: \(S(a) = S(b), \quad S'(a) = S'(b)\)