10 Numerische Integration
🏁 Ziel: Approximiere \(\int_a^b f(x) \, dx\) für eine Funktion \(f\).
💡 Idee: Funktion zunächst interpolieren und dann dieses Interpolationspolynom integrieren
10.1 Quadraturformeln
Sei \(\Xi = \{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_N\} \subset [a,b]\) eine Menge von Stützstellen und \(w_\xi\) die zugehörigen Gewichte. Dann ist die Quadraturformel:
\[ Q_\Xi(f)=\sum_{\xi \in \Xi} w_\xi f(\xi) \]
10.1.1 Ordnung
\(Q_\Xi\) hat Ordnung \(k\), wenn für alle Polynome \(P\) mit \(\deg(P) \leq k\) gilt:
\[ \int_a^b P(x) \, dx = Q_\Xi(P) \quad Q_\Xi \text{ ist exakt} \]
10.1.2 Newton-Cotes-Formeln
(Quadratur zu äquidistanten Stützstellen)
\[ \begin{aligned} N = 1: \quad & I_1(f) = \frac{b-a}{2} \left( f(a) + f(b) \right) \hspace{2cm} & \textit{Trapezregel} \\[1.5em] N = 2: \quad & I_2(f) = \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) \hspace{1.2cm} & \textit{Simpsonregel} \\[1.5em] N = 3: \quad & w_0 = w_3 = \frac{b-a}{8},\quad w_1 = w_2 = \frac{3(b-a)}{8} \hspace{2cm} & \textit{Newton’sche } \frac{3}{8}\text{-Regel} \\[1.5em] N = 4: \quad & w_0 = w_4 = \frac{7(b-a)}{90},\quad w_1 = w_3 = \frac{32(b-a)}{90},\quad w_2 = \frac{12(b-a)}{90} \hspace{0.5cm} & \textit{Milne-Regel} \end{aligned} \]
Der Fehler einer Quadraturformel setzt sich aus zwei Komponenten zusammen:
- Intervallgröße hoch \(K+1\) mal Faktor \(C\) (je kleiner das Intervall, desto besser die Approximation)
- Maximale Steigung der \(K\)-ten Ableitung von \(f\) auf dem Intervall (je glatter die Funktion, desto besser die Approximation)
10.1.3 Fehlerabschätzung
Tipp(Satz 10.3)
Sei \(Q_\Xi\) exakt für \(P \in \mathbb{P}_K\). Dann existiert \(C > 0\) mit
\[ \left|Q_\Xi(f) - \int_a^b f(t) \, dt\right| \le C(b-a)^{K+1} \max_{t \in [a,b]} \left|\left(\frac{d}{dt}\right)^{K+1} f(t)\right| \]
für \(f \in C^{K+1}[a,b]\).
10.1.4 Bemerkungen
- Es gibt zu allen Zerlegungen \(\Xi \subset [a,b]\) mit \(\#\Xi=N+1\) eine Quadraturformel \(Q_\Xi\), welche exakt ist für alle Polynome \(P\) mit \(\deg(P) \leq N\).
- Lagrarge Polynom: \[ w_\xi = \int_a^b L_\xi(t) \, dt \quad \text{mit} \quad L_\xi(t) = \prod_{\eta \in \Xi, \ \eta \neq \xi} \frac{t - \eta}{\xi - \eta} \]
- Die Quadraturformel hat maximale Ordnung \(2N-1\) (Gauß-Quadratur)
- ⚠️ Probleme:
- Äquidistante Stützstellen (Newton-Cotes) führen für \(N>5\) teilweise zu negativen Gewichten
- Gauß-Quadratur benötigt spezielle Stüzstellen. Keine adaptive “Wiederverwertung” möglich.
10.2 Summierte Quadraturformel
💡 Idee: Zerlege Intervall \([a,b]=\omega_1 \cup \dots \cup \omega_N\), \(\omega_n=[a+(n-1)h, \ a + nh]\) mit äquidistanter Schrittweite \(h=\frac{b-a}N\) und verwende die Quadraturformel in jedem Intervall \(\omega_N\).
10.2.1 Summierte Trapezregel
Für \(N \in \mathbb{N}\) seien \(h := \frac{b-a}{N}\) und
\[ \Xi := \{\xi_n = a + n h : n = 0, \ldots, N\}. \]
Definiere dann zu \(f \in C[a,b]\) die Quadraturformel:
\[ T_N(f) := \sum_{n=1}^N \frac{h}{2} \left( f(\xi_{n-1}) + f(\xi_n) \right) = \frac{h}{2} f(a) + h \sum_{n=1}^{N-1} f(\xi_n) + \frac{h}{2} f(b) \]