Appendix

Mathematische Grundlagen

Analysis

Reihen und Summen

Geometrische Reihe

Für alle reellen \(q \neq 1\) und für alle \(n \in \mathbb{N}_0\) ist:

\[ \sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \]

Der Grenzwert ist dementsprechend:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \]

Taylor-Formel

Sei \(\xi \in (a, b)\), \(f \in C^{k+1}([a, b])\) und \(x_0 \in [a, b]\). Dann gilt für jedes \(x \in [a, b]\):

\[\begin{align*} f(x) &=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_{k+1}(x_0) \\ &= \sum_{j=0}^k \frac{1}{j!}f^{(j)}(x_0)(x-x_0)^j + R_{k+1}(x_0) \end{align*}\]

wobei der Restglied \(R_{k+1}(x_0)\) in der Lagrange-Form gegeben ist durch:

\[ R_{k+1}(x_0)=\frac{1}{(k+1)!}f^{(k+1)}(\xi)(x-x_0)^{k+1} \]

Logarithmen

Lineare Algebra

Orthogonale Matrizen

Eine Matrix \(Q\) ist orthogonal, wenn:

\[ Q^\top Q = Q Q^\top = I \]

• \(Q^\top = Q^{-1}\)
  • \(Q\) ist daher auch invertierbar
• \(det(Q) = \pm 1\)

Symmetrische Matrizen

Eine Matrix \(S\) ist symmetrisch, wenn:

\[ S^\top = S \]

• Die Eigenwerte von \(S\) sind reell
  • Die Eigenvektoren von \(S\) sind orthogonal zueinander
• \(S^\top S = S S^\top\) (normal)
• Sei \(A \in \mathbb{R}^{N \times N}\), dann ist \(B=A^\top A\) symmetrisch
• \(S\) ist nicht notwendigerweise invertierbar

Positiv definit

Eine symmetrische Matrix \(S\) ist positiv definit, wenn:

\[ x^\top S x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^N \backslash\{0\} \]

bzw. äquivalent:

• Alle Eigenwerte von \(S\) sind positiv
• Alle Hauptminoren von \(S\) sind positiv
• \(S\) ist invertierbar und \(S^{-1}\) ist positiv definit

\(2\times2\)-Matrix invertieren

\[ A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \quad \text { dann } \quad A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right) \]