Appendix

Mathematische Grundlagen

Analysis

Reihen und Summen

Geometrische Reihe

Für alle reellen \(q \neq 1\) und für alle \(n \in \mathbb{N}_0\) ist:

\[ \sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \]

Der Grenzwert ist dementsprechend:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} q^k=\frac{1}{1-q} \]

Lineare Algebra

flowchart TD
    all_matrices("all matrices") --> complex("complex") & real("real")
    real --> non_square("non square") & square("square")
    square --> general("general") & se_n("SE(n)") & normal("normal")
    general -- det≠0 --> invertible("invertible / regular")
    general -- "det=0" --> singular("singular")
    normal --> symmetric("symmetric") & orthogonal("orthogonal O(n)") & skew_symmetric("skew-symmetric")
    symmetric --> positive_definite("positive definite") & unnamed_sym((" "))
    positive_definite --> diagonal("diagonal") & unnamed_posdef((" "))
    diagonal --> identity("identity") & unnamed_diag((" "))
    orthogonal -- "det=+1" --> so_n("SO(n)")
    orthogonal -- "det=-1" --> unnamed_ortho((" "))

     all_matrices:::greyNode
     complex:::greyNode
     real:::greyNode
     non_square:::greyNode
     square:::greyNode
     general:::greyNode
     se_n:::blueNode
     normal:::greyNode
     invertible:::blueNode
     singular:::greyNode
     symmetric:::greyNode
     orthogonal:::blueNode
     skew_symmetric:::greyNode
     positive_definite:::blueNode
     unnamed_sym:::greyNode
     diagonal:::blueNode
     unnamed_posdef:::blueNode
     identity:::blueNode
     unnamed_diag:::blueNode
     so_n:::blueNode
     unnamed_ortho:::blueNode
    classDef greyNode fill:#e0e0e0,stroke:#333,stroke-width:2px
    classDef blueNode fill:#cce6ff,stroke:#333,stroke-width:2px

Abbildung 1: Matrix Taxonomie adaptiert von Corke (2023). Matrizen in blau sind invertierbar.

Orthogonale Matrizen

Eine Matrix \(Q\) ist orthogonal, wenn:

\[ Q^\top Q = Q Q^\top = I \]

  • \(Q^\top = Q^{-1}\)
    • \(Q\) ist daher auch invertierbar
  • \(det(Q) = \pm 1\)

Symmetrische Matrizen

Eine Matrix \(S\) ist symmetrisch, wenn:

\[ S^\top = S \]

  • Die Eigenwerte von \(S\) sind reell
    • Die Eigenvektoren von \(S\) sind orthogonal zueinander
  • \(S^\top S = S S^\top\) (normal)
  • Sei \(A \in \mathbb{R}^{N \times N}\), dann ist \(B=A^\top A\) symmetrisch
  • \(S\) ist nicht notwendigerweise invertierbar

\(2\times2\)-Matrix invertieren

\[ A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \quad \text { then } \quad A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right) \]